2015湖北省公务员备考——经济利润问题中的利润最大化问题

　　湖北华图 黄晖

　　在经济利润问题中，常常涉及到定价与利润的问题。在实际生活中，商品的价格除了受商品的价值量影响外，还收价值规律的影响。在成本一定的情况下，商品售价提高时，单价商品的利润会上升，但同时商品的销量会下降，二者是反比例关系。在公务员考试中，经常会根据这种反比例关系进行命题，条件是销量随着定价的升高而降低，要求求出商品总收入或者总利润最大，本质上是一个二次函数求最值的问题，方法主要有以下三种：

　　(1)求导法。对于任意的多次函数 ，可以用求导法求出最值。当 时，求得的x值代入原式可得到最大值或者最小值。

　　(2)配方法。二次函数 ，当 时， 时， 为最小值;当 时， 时， 为最大值。

　　(3)不等式法。当a、b均大于0时，有 ，故 为定值时，当 时，ab的乘积取得最大值。

　　【例1】(2013下半年-四川-55)某报刊以每本2元价格发行，可发行10万份，若该报刊单价每提高0.2元，发行量将减少5000份，则该报刊可能的最大销售收入为多少万元?( )

　　A.24 B.23.5

　　C.23 D.22.5

　　【答案】D

　　【解析】方法一：设提价x次，则售价为(0.2x+2)元，销量为(10-0.5x)万份，则销售收入为 。因为(x+10)与(20-x)的和为定值，要使总的销售收入最大，需要 ，此时 ，此时销售收入为 万元。因此，本题选择D选项。

　　方法二：设提价x次，则售价为(0.2x+2)元，销量为(10-0.5x)万份，则销售收入为 ，则x=5时，y=22.5为最大值。因此，本题选择D选项。

　　方法三：设提价x次，则售价为(0.2x+2)元，销量为(10-0.5x)万份，则销售收入为 ，导数为 ，即x=5时，y有最大值，为22.5，即最大销售收入为22.5万元。因此，本题选择D选项。

　　【例2】(2014下半年-重庆-68)某汽车租赁公司有200辆同型号的汽车，每辆车的日租金为100元时可全部租出;当每辆车的日租金增加5元时，未租出的汽车就会多4辆，租出的汽车每天需要维护费20元。每辆车的日租金为多少时，租赁公司的日收益最大?( )

　　A.155 B.165

　　C.175 D.185

　　【答案】D

　　【解析】方法一：设租金增加5x元，则未出租的车增加4x辆，则总收益为 ，要使总收益最大，需要满足 ，即 ，此时每辆车的日租金为 。因此，本题选择D选项。

　　方法二：设租金增加5x元，则未出租的车增加4x辆，则总收益为 ，故当 时，日收益最大，此时日租金为 元。因此，本题选择D选项。

　　方法三：设租金增加5x元，则未出租的车增加4x辆，则总收益为 ，导数 ，即x=17时，利润最大，此时日租金为 元。因此，本题选择D选项。

　　【例3】(2013-广东-52)一厂家生产销售某新型节能产品。产品生产成本是168元，销售定价为238元。一位买家向该厂家预订了120件产品，并提出如果产品售价每降低2元，就多订购8件。则该厂家在这笔交易中能获得的最大利润是( )元。

　　A.17920 B.13920

　　C.10000 D.8400

　　【答案】C

　　【解析】方法一：销售降低2元，就多订购8件，即降低1元，多订购4件。原来的每件利润为238-168=70元。设降价x元，则总利润为 ，要使总利润最大，需要 ，即 时，此时最大利润为 元。因此，本题选择C选项。

　　方法二：销售降低2元，就多订购8件，即降低1元，多订购4件。原来的每件利润为238-168=70元。设降价x元，则总利润为 ，当 时，利润为 元。因此，本题选择C选项。

　　方法三：销售降低2元，就多订购8件，即降低1元，多订购4件。原来的每件利润为238-168=70元。设降价x元，则总利润为 ，导数 ，即x=20时，利润最大，此时利润为 元。因此，本题选择C选项。

　　经济利润问题是湖北省公务员考试中最接近生活实际的题型，常常结合生活实际考查，是每年必考的一类题型。而经济利润问题中的二次函数的最值问题，也是考试中较难的一类题型，但只要掌握了方法，按照方法求解，难度不大。最后，祝大家在2015湖北省公务员考试中取得优异的成绩!